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【ZJOI2007】仓库建设

【题目描述】

L公司有N个工厂,由高到底分布在一座山上。如图所示,工厂1在山顶,工厂N在山脚。

由于这座山处于高原内陆地区(干燥少雨),L公司一般把产品直接堆放在露天,以节省费用。突然有一天,L公司的总裁L先生接到气象部门的电话,被告知三天之后将有一场暴雨,于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。

由于地形的不同,在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件,在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂,其产品应被运往其他的仓库进行储藏,而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N,故产品只能往山下运(即只能运往编号更大的工厂的仓库),当然运送产品也是需要费用的,假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的,可以容下所有的产品。

你将得到以下数据:

(1)工厂i距离工厂1的距离Xi(其中X1=0);

(2)工厂i目前已有成品数量Pi;

(3)在工厂i建立仓库的费用Ci;

请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案,使得总的费用(建造费用+运输费用)最小。

【输入】

第一行包含一个整数N,表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

【输出】

包含一个整数,为可以找到最优方案的费用。

【输入样例】

3

0 5 10

5 3 100

9 6 10

【输出样例】

32

【数据范围】

对于20%的数据,N≤500;

对于40%的数据,N≤10000;

对于100%的数据,N≤1000000。

所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内,保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

【题解】

典型1D1D动态规划,先把朴素方程写出来:f[i]=min(f[j]+Σpk*(xi-xk)+ci),其中f[i]表示在i处修建仓库时,1~i的最低费用,由题意知,n处一定要修建仓库,且产品只能向下运输,所以这个方程可行。

用各种前缀和处理后,得到新方程:f[i]=min(f[j]+s[j]-x[i]*p'[j])+x[i]*p'[i]-s[i]+c[i],其中p'[i]=Σp[k],k∈[1,i],s[i]=Σx[k]*p[k],k∈[1,i]。这样对于确定的i,j,状态转移是O(1)的,但总时间是O(n^2),所以考虑斜率优化。设g[i]=f[i]+s[i]作为斜率方程的y,w[i,j]=-x[i]*p'[j]作为斜率方程-kx,h[i]=x[i]*p'[i]-s[i]+c[i]作为常数,可以发现-k和x都单调(-x[i]作为斜率,p'[j]作为横坐标,两者都是前缀和),所以用单调队列优化即可。

【代码】

此题原题时限3s,可以用四边形不等式完成,但斜率优化后可以1s内解决。

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