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【HNOI2012】射箭

【题目描述】

沫沫最近在玩一个二维的射箭游戏,如下图 1 所示,这个游戏中的 x 轴在地面,第一象限中有一些竖直线段作为靶子,任意两个靶子都没有公共部分,也不会接触坐标轴。沫沫控制一个位于(0,0)的弓箭手,可以朝 0 至 90°中的任意角度(不包括 0度和 90度),以任意大小的力量射出带有穿透能力的光之箭。由于游戏中没有空气阻力,并且光之箭没有箭身,箭的轨迹会是一条标准的抛物线,被轨迹穿过的所有靶子都认为被沫沫射中了,包括那些 只有端点被射中的靶子。这个游戏有多种模式,其中沫沫最喜欢的是闯关模式。在闯关模式中,第一关只有一个靶子,射中这个靶子即可进入第二关,这时在第一关的基础上会出现另外一个靶子,若能够一箭双雕射中这两个靶子便可进入第三关,这时会出现第三个靶子。依此类推,每过一关都会新出 现一个靶子,在第 K 关必须一箭射中前 K 关出现的所有 K 个靶子才能进入第 K+1 关,否则游戏 结束。沫沫花了很多时间在这个游戏上,却最多只能玩到第七关“七星连珠”,这让她非常困惑。 于是她设法获得了每一关出现的靶子的位置,想让你告诉她,最多能通过多少关。



【输入】

输入文件第一行是一个正整数N,表示一共有N关。接下来有N行,第i+1行是用空格隔开的三个正整数xi,yi1,yi2(yi1<yi2),表示第i关出现的靶子的横坐标是xi,纵坐标的范围是从yi1到yi2。

【输出】

仅包含一个整数,表示最多的通关数。

【输入样例】

5

2 8 12

5 4 5

3 8 10

6 2 3

1 3 7

【输出样例】

3

【数据范围】

输入保证30%的数据满足N≤100,50%的数据满足N≤5000,100%的数据满足N≤100000且给出的所有坐标不超过10^9。

【题解】

分析一下,每个靶子对应一个方程,一个靶子能被射中,当且仅当存在a,b满足y1≤ax^2+bx≤y2,整理后可得:

①x^2*a+x*b-y1≥0——>直线x^2*a+x*b-y1=0的下方;

②x^2*a+x*b-y2≤0——>直线x^2*a+x*b-y2=0的上方。

所以联立所有直线方程,半平面交求解即可。考虑到数据范围达到10^5,只能使用O(nlogn)的方法求解,但这种方法只能离线,不能按随意的顺序添加直线,所以采用二分答案转换为判定问题,只判定当前选择的直线半平面交是否有解即可。

还要考虑精度问题,这道题的实数运算量很大,因为直线方程本身就是一个实数,而且各个方程之间的斜率也是很接近的,所以1e-8是不够了。我试了试,自己的代码大概开到1e-11就可以AC,1e-10会WA两个点,1e-8WA四个点,保险起见直接开1e-16是没问题的。

【代码】

二分答案后时间复杂度降为O(n*log^2n),但似乎是随机数据,因此O(n^2)依次加直线也可过。

http://paste.ubuntu.com/7248466/

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